الرياضيات علم الجبر

عند قيامك بتبسيط مقدار رياضي ، قد تعتقد أن اتباع التسلسل الصحيح في إجراء العمليات الحسابية هو مسألة بديهية وسهلة ‍‍!



ولكن مهلاً !!

دعنا ننظر معاً إلى بعض الأمثلة التي قد تربكك وتوقعك في أخطاء لم تكن تعتقد أنك ستقترفها .



قام أحمد بتبسيط العبارة العددية (5 + 4 × 3) على صورة المقدار العددي = 27


بينما قام خليل بتبسيط ذات العبارة العددية (5 + 4 × 3) على صورة المقدار العددي = 17



تُرى أيهما أتبع الخطوات الحسابية بتسلسل صحيح ؟؟




كيف نحل المقدار العددي (8 ÷ 2 × 6 + 4)



لقد اتفق الرياضيون على اتباع ترتيب معين أو تسلسل محدد لإجراء العمليات الحسابية بحيث يكون معلوماً وواضحاً لكل دارس أو مُدرس التسلسل الصحيح للخطوات التي يجب اتباعها عند تبسيط المقادير الرياضية.



يُمكننا اختصار هذا التسلسل كما يلي :

الأقواس ( ) ، الأسس والجذور ، الضرب ، القسمة ، الجمع ، الطرح .

رجوع	تبسيط المعادلات والتراتب في العمليات الحسابية ~ التسلسل في تنفيذ العمليات الحسابية

بسيط المعادلات والتراتب في العمليات الحسابية
التسلسل في تنفيذ العمليات الحسابية


سنبدأ هنا ، التدرب على اتباع القواعد الأساسية عند إجراء العمليات الحسابية المختلفة بغرض تبسيط العبارة أو المعادلة الرياضية .



من الواضح أن المعادلات والمقادير الرياضية تتضمن عموماً إلى جانب الأعداد والمتغيرات (الحروف) الرموز الرياضية من مثل إشارات : الضرب × ، القسمة ÷ ، الجمع + ، الطرح - ، المساواة =

[(5 س + 3 ÷ 4 ص × 2 – 7 +)]	<TABLE style="BORDER-COLLAPSE: collapse" id=table244 border=0 width="50%"> <TR> <td>(س = 1، </TD> <td></TD> <td>)</TD></TR></TABLE>

وعند قيامنا بصياغة المعادلات والمقادير الرياضية المختلفة، نلجأ كثيراً، كما يقوم الرياضيون، باستخدام الأقواس ( ) لحصر بعض المعطيات العددية أو الجبرية داخلها بغرض التوضيح أو كجزء من عملية التبسيط الأولي للمعادلات والمقادير الطويلة والمعقدة .

[(5 + 7) × (6 – 5)] ، 5 س + 4 – (7 – 2)



وقد تصادفنا معادلات أو مقادير رياضية تتضمن متغيرات (حروف) أو أعدادٍ مرفوعة لأسٍُ أو قوة عددية ما أو أنها على صورة جذر.

،

35

،

س2

،

،

وهكذا يتضح لنا أهمية معرفة تسلسل واتباع القواعد الأساسية التالية، والموضوعة من قبل الرياضيين والمتعارف عليها عالمياً، عندما نبدأ بتبسيط أي مقدار رياضي أو عند قيامنا بمحاولة إيجاد حل لمعادلة ما.



إبدأ بمعالجة كل مقدار رياضي أو كل طرف من أطراف المعادلة من اليمين إلى اليسار .

نفذ العمليات الحسابية الواردة ضمن أقواس أولاً .

نفذ عمليات فك (تبسيط) الجذور والأسس .

بعد ذلك نفذ عمليات الضرب (من اليمين إلى اليسار) .

ثم نفذ عمليات القسمة (من اليمين إلى اليسار) .

وبعد ذلك نفذ عمليات الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار) .

الأقواس ، القوى ، الضرب ، القسمة ، الجمع ، الطرح .



الخاصية التبديلية (تبادل الحدود)

الجمع: 3 + 2 = 2 + 3 وبالمثل س + ص = ص + س

الضرب: 3 × 4 = 4 × 3 وبالمثل ل × ع = ع × ل





الخاصية الترتيبية

الجمع: ( 2 + 3) + 4 = (2 + 4) + 3 = (3 + 4) + 2

وبالمثل (س + ص) + ع = (س + ع) + ص = (ص + ع) + س



الضرب: س (ص × ع) = ع (ص × س) = ص (ع × س)



3 (5 × 6) = 6 (3 ×5) = 5 (3 × 6)



خاصية التوزيع (الخاصية التوزيعية)

الضرب يوزع على الجمع

2 (5 + 3) = 2 × 5 + 2 × 3

وبالمثل س (ص + ل) = س ص + س ل



إضافة أو طرح صفر من العبارة الرياضية

5 + 0 = 0 وبالمثل س + 0 = س

5 – 0 = 5 وبالمثل س – 0 = س



النظير العكسي (مقلوب العدد)



5 – 5 = 0 وبالمثل 5 + ( - 5) = 0 وبالمثل س + (- س) = 0

بشرط س ¹ 0 .

وبالمثل

وكذلك 3 س × 4 = 3 × س × 4 = 3 × 4 × س = 12 × س = 12 س

وكذلك 3 س × 4 = 3 × س × 4 = 4 × س × 3 = 4 س × 3

6 كغم + (س) كغم = 20 كغم





= 3 سم² + 4 سم²

= 7 سم²



(ص + 4) من الأمتار = (ص) متر + 4 متر

= 3 م + 4 م

= 7 م



= 3 دينار + 4 دينار

= 7 دنانير

المتغير والمُعامل والحد المطلق عرفت أنّ الحدُّ الجبريُّ يتكوّن من حاصل ضربِ ثابتٍ بمتغير أو أكثر . 3س ، 7س ص ، 35 س3ص2ع ... وعرفت أن العدد المضروب بمتغير أو أكثر في الحد الجبري يسمى المعامل . ففي الحد الجبري 3س2 يكون معامل س2 هو (3) ، ومعامل س في الحد الجبري -2س هو (-2) ، ونقول أن (+5) هو معامل س في الحد الجبري +5 س. وعرفت أن المقدار الجبري يتكون من الحدود المفصولة عن بعضها بإشارة الجمع أو الطرح . وهكذا فإن (3س2 – 2 س + 5 ) هو مقدار جبري فيه : 3 س2 حد جبري ، - 2 س حد جبري ، + 5 حد مطلق . دَرست سابقاً أن العبارة الرياضية (5 + 5 + 5) يُمكن أن تُكتب اختصاراً على صورة (3 × 5) وبالمثل ، في علم الجبر فإن س + س + س = 3 × س (وتُكتب اختصاراً 3س). ودَرست سابقاً أنَّ العدد 36 لا يعني أبداً (6 × 3) وإنما يعني (3) عشرات و 6 واحدات (آحاد) . 36 = (3) عشرات + (6) آحاد ولكن في علم الجبر ، فإننا دائماً يجب أن نفهم أنَّ : 4 س تعني 4 × س ونقول أن الأربعة (4) هي معامل المتغير (س) أي أنها تخبرنا عن عدد مرات تكرار المتغير (س) 4 س = 4 × س = س + س + س + س وبالمثل : س ص تعني دائماً س × ص ونقول (س) هي معامل للمتغير ص ، والعكس أيضاً (ص) هي معامل للمتغير س . لنأخذ المقدار الجبري (3س × 4) ونَرى كيف يُمكننا فهمه . 3 س × 4 تعني 4 × 3 س 3 س + 3 س + 3 س + 3 س = 12 س وكذلك 3 س × 4 = 3 × س × 4 = 3 × 4 × س = 12 × س = 12 س وكذلك 3 س × 4 = 3 × س × 4 = 4 × س × 3 = 4 س × 3 3 س × 4 = 12 س = 4 س × 3 وبالمثل فإن المقدار (3 س × 4 ص) يعني 3 س × 4 ص = 12 س ص = 4 س × 3 ص القيمة العددية والمعادلة الجبرية المعادلات (علاقات خاصة) تساعدنا صياغة العلاقات الخاصة على شكل معادلة جبرية في حل الكثير من المسائل ، عندما نعرف القيم العددية للحروف (المتغيرات) ، المستخدمة في المعادلة . لنأخذ العلاقة بين الطول و العرض مثلاً العلاقة الخاصة بإيجاد مساحة المستطيل بدلالة أطوال أضلاعه . لا بد أنك تعرف أن مساحة المستطيل = الطول × العرض وباستخدام الحروف نقول م = ط × ع حيث: م = مساحة المستطيل بالسنتميتر المربع. ط : طول المستطيل بالسنتميتر. ع : عرض المستطيل بالسنتميتر. تستطيع أن نجد مساحة المستطيل إذا علمت أن ط = 5 سم ، ع = 4 سم. م = ط × ع م = 5 سم × 4 سم م = 20 سم2 وبالمثل : أنت تعرف أن المسافة = السرعة × الزمن وبالرموز م = س × ز حيث: م : المسافة بالمتر. س: السرعة بالمتر لكل ثانية. ز : الزمن بالثانية. تستطيع أن تعرف المسافة التي تقطعها سيارة تحركت مثلاً لمدة 20 ثانية وبسرعة ثابتة مقدارها 10متر لكل ثانية. نقول م = س × ز م = 10 متر / ثانية × 20 ثانية م = 200 متر تبسيط المعادلات والتراتب في العمليات الحسابية عند قيامك بتبسيط مقدار رياضي ، قد تعتقد أن اتباع التسلسل الصحيح في إجراء العمليات الحسابية هو مسألة بديهية وسهلة ‍‍! ولكن مهلاً !! دعنا ننظر معاً إلى بعض الأمثلة التي قد تربكك وتوقعك في أخطاء لم تكن تعتقد أنك ستقترفها . قام أحمد بتبسيط العبارة العددية (5 + 4 × 3) على صورة المقدار العددي = 27 بينما قام خليل بتبسيط ذات العبارة العددية (5 + 4 × 3) على صورة المقدار العددي = 17 تُرى أيهما أتبع الخطوات الحسابية بتسلسل صحيح ؟؟ أحمد خليل 5 + 4 × 3 = (5 + 4) × 3 = 9 × 3 = 27 5 + 4 × 3 = 5 + (4 × 3) = 5 + 12 = 17 كيف نحل المقدار العددي (8 ÷ 2 × 6 + 4) (8 ÷ 2) × (6 + 4) ؟! 1) (8 ÷ 2 × 6 + 4) (8 ÷ 2) × 6 + 4 ؟! 2) 8 ÷ (2 × 6) + 4 ؟! 3) 8 ÷ 2 × (6 + 4) ؟! 4) ..... وهكذا لقد اتفق الرياضيون على اتباع ترتيب معين أو تسلسل محدد لإجراء العمليات الحسابية بحيث يكون معلوماً وواضحاً لكل دارس أو مُدرس التسلسل الصحيح للخطوات التي يجب اتباعها عند تبسيط المقادير الرياضية. تبسيط المعادلات والتراتب في العمليات الحسابية التسلسل في تنفيذ العمليات الحسابية سنبدأ هنا ، التدرب على اتباع القواعد الأساسية عند إجراء العمليات الحسابية المختلفة بغرض تبسيط العبارة أو المعادلة الرياضية . من الواضح أن المعادلات والمقادير الرياضية تتضمن عموماً إلى جانب الأعداد والمتغيرات (الحروف) الرموز الرياضية من مثل إشارات : الضرب × ، القسمة ÷ ، الجمع + ، الطرح - ، المساواة = [(5 س + 3 ÷ 4 ص × 2 – 7 +)] (س = 1، ) وعند قيامنا بصياغة المعادلات والمقادير الرياضية المختلفة، نلجأ كثيراً، كما يقوم الرياضيون، باستخدام الأقواس ( ) لحصر بعض المعطيات العددية أو الجبرية داخلها بغرض التوضيح أو كجزء من عملية التبسيط الأولي للمعادلات والمقادير الطويلة والمعقدة . [(5 + 7) × (6 – 5)] ، 5 س + 4 – (7 – 2) وقد تصادفنا معادلات أو مقادير رياضية تتضمن متغيرات (حروف) أو أعدادٍ مرفوعة لأسٍُ أو قوة عددية ما أو أنها على صورة جذر. ، 35 ، س2 ، ، وهكذا يتضح لنا أهمية معرفة تسلسل واتباع القواعد الأساسية التالية، والموضوعة من قبل الرياضيين والمتعارف عليها عالمياً، عندما نبدأ بتبسيط أي مقدار رياضي أو عند قيامنا بمحاولة إيجاد حل لمعادلة ما. إبدأ بمعالجة كل مقدار رياضي أو كل طرف من أطراف المعادلة من اليمين إلى اليسار . نفذ العمليات الحسابية الواردة ضمن أقواس أولاً . نفذ عمليات فك (تبسيط) الجذور والأسس . بعد ذلك نفذ عمليات الضرب (من اليمين إلى اليسار) . ثم نفذ عمليات القسمة (من اليمين إلى اليسار) . وبعد ذلك نفذ عمليات الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار) العبارات العددية تستخدم في حياتك اليومية , كما تُصادف يومياً أثناء دراستك , عبارات وجمل عددية مختلفة , بعضها بسيط وبعضها معقد والبعض الآخر أكثر تعقيداً. 27 ـ 23 10 + 5 + 3 = 18 نقول : العبارة العددية تتضمن عدداً واحداً أو أعداداً وإشارات العمليات الحسابية. يمكنك تبسيط العبارات العددية المختلفة بإجراء العمليات الحسابية التي تتضمنها أو تشير إليها تلك العبارات الرياضية. إنّ العباراة العددية 18 تعتبر عبارة عددية مبسطة بحد ذاتها . والعبارة العددية (10 + 5 + 3 ) يمكن تبسيطها بإجراء عمليات الجمع التي تشير إليها : 10 + 5 + 3 = ( 10 + 5 ) + 3 = 15 + 3 = 18 نقول 10 + 5 + 3 عبارة عددية. ونقول العدد 18 هو قيمة للعبارة العددية 10 + 5 + 3. وكذلك يتم تبسيط العبارة العددية 27 ـ 23 أولاً بإيجاد مربع العدد 3 ثم بإجراء عملية الطرح التي نشير إليها : 27 ـ 23 = 27 ـ 9 = 18 المساواة بين العبارات العددية عندما تقوم بتبسيط مجموعة من العبارات أو الجمل العددية فإنك تجد أنها قد تشير إلى مقادير عددية مختلفة : 12 ـ 2 6 + 2 وقد تشير مجموعة العبارات العددية التي تقوم بتبسيطها إلى مقدار عددي واحد: 4 + 0 3 × 3 ـ 5 2 × 2 2 + 2 عندما نشير مجموعة من العبارات العددية إلى مقدار عددي محدد نقول أن هذه العبارات متساوية أو متوازنة 2 × 2 = 2 + 2 بما أن العبارتين العدديتان 3 × 3 ، 5 + 4 تدلان على المقدار العددي (العدد) نفسه ، فإنه بالإمكان استخدام اشارة المساواة " = " بينها وكتابة 3 × 3 = 5 + 4 بإمكانك الآن إذا أردت التعبير عن المقدار العددي 9 مثلاً , أن تتدرج في صياغة عبارات عددية متنوعة ومختلفة في درجة التعقيد : ... وهكذا 6 + 3 3 × 3 وإذا رغبت أن تستخدم العدد 3 في عبارات عددية مختلفة تدل جميعاً على المقدار العددي (12) فإنك تستطيع إيراد عبارات عديدة من مثل: ... وهكذا 3 + 23 15 ـ 3 4 × 3 العبارات الرياضية من المؤكد أنك خلال دراستك السابقة , قد تدربت كثيراً على حل مسائل حسابية ( جمل رياضية مفتوحة ) تتطلب تحديد و وضع المقدار العددي المناسب لضبط المسألة: هل استطعت تحديد العدد المناسب ؟؟ حدد المقدار العددي اللازم في كل مجموعة من العبارات الرياضية (الجمل المفتوحة) التالية : العبارات الرياضية والمعادلة الرياضية تبين لك أننا نستخدم عبارات عددية مختلفة قد تدل على مقدار عددي معين أو قد تدل على مقادير عددية مختلفة . ولكن هل سبق وان رأيت صيغاً رياضية من مثل : المجموعة الأولى 2 × 2 = 2 + 2 4 + 0 = 3 + 1 المجموعة الثانية = 4 + 9 18 ـ 4 + 8 = 6 × تُرى ماذا تعني مجموعات الصيغ الرياضية هذه ؟ لنأخذ المجموعة الأولى: 2 × 2 = 2 + 2 4 + 0 = 3 + 1 حسناً , إذا تفحصت هذه الصيغ الرياضية , تلاحظ أننا استخدمنا رمز المساواة الرياضي (= وتقرأ يساوي ) لنربط بين عبارتين رياضيتين مختلفتين. 2 + 2 = 2 × 2 عبارة رياضية يُساوي عبارة رياضية المقدار الجبري في علم الجبر ، ببساطة نستخدم الحروف لتمثيل المعلومة الناقصة في عبارة رياضية ما (جملة مفتوحة) . 8 + س 8 + 4 +8 = 6 × ص 4 +8 = 6 × ... وهكذا. لنأخذ العبارات الرياضية التالية ونَرى ماذا نَعني بها 1) 8 + س : عبارة رياضية (تعبير جبري) يُسمى مقداراً جبرياً . 8 + س : مقدارٌ جبري يعني ناتج جمع العدد 8 إلى المتغير (المجهول) س . وبالمثل س + و : مقدار جبري يتضمن اكثر من متغير . س + و : مقدار جبري يعني ناتج جمع المتغير (المجهول) س إلى المتغير و . 2) 6 × ص : تعبير جبري يُسمى حداً جبرياً . 6 × ص : الحد جبري يَعني ناتج ضرب العدد 6 بالمتغير (المجهول) ص . وبالمثل س × ع : تعبير جبري يُسمى حداً جبرياً يتضمن اكثر من متغير . س × ع : حدٌّ جبري يَعني ناتج ضرب المتغير س بالمتغير ع . 3) 10 ـ ع : تعبير جبري يُسمى مقداراً جبرياً . 10 ـ ع : مقدارٌ جبري يعني ناتج (باقي) طرح المتغير (المجهول) ع من العدد 10 . وبالمثل ص ـ س : تعبير جبري يُسمى مقداراً جبرياً يتضمن اكثر من متغير . ص ـ س : مقدارٌ جبري يعني ناتج (باقي) طرح المتغير س من المتغير ص . 4) ن ÷ 4 : تعبير جبري يُسمى حداً جبرياً. ن ÷ 4 : حدٌّ جبري يعني ناتج (خارج) قسمةالمتغير (ا المقدار الجبري والعمليات الحسابية المقدار الجبري وإشارة الجمع 8 + س تعني أيضا (أي تساوي) س + 8 س + و تعني أيضاً (أي تساوي ) و + س المقدار الجبري وإشارة الطرح أولاً: م ـ 4 : مقدارٌ جبري يعني ناتج (باقي) طرح العدد 4 من المتغير (المجهول) م. بينما 4 ـ م : مقدارٌ جبري يعني ناتج (باقي) طرح المتغير م من العدد 4. ثانياً : 10 ـ ع لا تعني دائماً (لا تُساوي دائماً) ع ـ 10 لماذا؟؟ وكذلك ص ـ س لا تعني دائماً (لا تُساوي دائماً) س ـ ص لماذا؟؟ الحد الجبري وإشارة القسمة أولاً : وبالمثل س ÷ ص يمكن أن تكتب على صورة ثانياً: 4 ÷ ن : حد جبري يعني ناتج (خارج ) قسمة العدد 4 على المتغير المجهول ن. بينما ن ÷ 4 : حد جبري يعني ناتج (خارج) قسمة المتغير ن على العدد 4 . ثالثاً : ن ÷ 4 لا تعني دائما (لا تساوي دائماً) 4 ÷ ن لماذا ؟ لا تساوي دائماً س ÷ ص لا تعني دائما (لا تساوي دائماً) ص ÷ س لماذا ؟ لا تساوي دائماً المتغير ووحدة القياس الكمي تَرمُز الحروف التي نستخدمها في المقادير الجبرية إلى أعدادٍ وليس إلى وحدات قياس لعددٍ من الأشياء . فكما نقول (7) كيلو غرام ، (100) سم2 ، (15) متر ، (5) دراهم. بالمثل نقول : (س) من الدنانير ، (ص) كيلوغرامات ، (ل) متر مربع ... وهكذا . ونحنُ نستخدم الأحرف في الجبر، ليدل الواحد منها على مقدار عددي من نوعٍ واحد فقط . فمثلاً قد تكون (س) ترمز إلى 7 كيلوغرامات أو قد تكون (ص) ترمز إلى 12 مسطرة ... وهكذا . ولكنها ، أي (س) ، لا يمكن أن ترمز إلى نوعين مختلفين . فمثلاً (س) لا يمكن أن ترمز إلى 7 كيلوغرامات و12 مسطرة في آن واحد. الحرف في الجبر (المتغير) يدل على نوع كمي واحد. لنأخذ العبارة 6 + س = 20 كغم . إنها تعني أن العدد 6 يدل على 6 كغم . وأن (س) وحدتها الكيلوغرام وهي تدل على مقدار عددي. 6 + س = 20 كغم تعني لنا 6 كغم + (س) كغم = 20 كغم إذن س = 14 كغم لنأخذ المقدار الجبري (ص + 4) ولنفرض أن ص = 3 . دَعنا الآن ندرس القيمة العددية للمقدار الجبري (ص + 4) على فرض أن ص = 3 . إذا كان المقدار (ص + 4) يُمثل وحدات قياس مساحةٍ ما ، فإن القيمة العددية لهذا المقدار الجبري هي: (ص + 4) سم2 = (3) سم2 + 4 سم2 = 3 سم2 + 4 سم2 = 7 سم2 وإذا كان المقدار (ص + 4) يمثل وحدات قياس مسافة طولية ما فإن القيمة العددية لهذا المقدار هي: (ص + 4) من الأمتار = (ص) متر + 4 متر = 3 م + 4 م = 7 م وإذا كان المقدار (ص + 4) يُمثل مبلغاً من النقود (دنانير مثلاً) ، فإن القيمة العددية لهذا المقدار هي: (ص + 4) دينار = (ص) دينار + 4 دينار = 3 دينار + 4 دينار = 7 دنانير تبسيط المعادلات والتراتب في العمليات الحسابية عند قيامك بتبسيط مقدار رياضي ، قد تعتقد أن اتباع التسلسل الصحيح في إجراء العمليات الحسابية هو مسألة بديهية وسهلة ‍‍! ولكن مهلاً !! دعنا ننظر معاً إلى بعض الأمثلة التي قد تربكك وتوقعك في أخطاء لم تكن تعتقد أنك ستقترفها . قام أحمد بتبسيط العبارة العددية (5 + 4 × 3) على صورة المقدار العددي = 27 بينما قام خليل بتبسيط ذات العبارة العددية (5 + 4 × 3) على صورة المقدار العددي = 17 تُرى أيهما أتبع الخطوات الحسابية بتسلسل صحيح ؟؟ أحمد خليل 5 + 4 × 3 = (5 + 4) × 3 = 9 × 3 = 27 5 + 4 × 3 = 5 + (4 × 3) = 5 + 12 = 17 كيف نحل المقدار العددي (8 ÷ 2 × 6 + 4) (8 ÷ 2) × (6 + 4) ؟! 1) (8 ÷ 2 × 6 + 4) (8 ÷ 2) × 6 + 4 ؟! 2) 8 ÷ (2 × 6) + 4 ؟! 3) 8 ÷ 2 × (6 + 4) ؟! 4) ..... وهكذا لقد اتفق الرياضيون على اتباع ترتيب معين أو تسلسل محدد لإجراء العمليات الحسابية بحيث يكون معلوماً وواضحاً لكل دارس أو مُدرس التسلسل الصحيح للخطوات التي يجب اتباعها عند تبسيط المقادير الرياضية. يُمكننا اختصار هذا التسلسل كما يلي : الأقواس ( ) ، الأسس والجذور ، الضرب ، القسمة ، الجمع ، الطرح . رجوع تبسيط المعادلات والتراتب في العمليات الحسابية ~ التسلسل في تنفيذ العمليات الحسابية بسيط المعادلات والتراتب في العمليات الحسابية التسلسل في تنفيذ العمليات الحسابية سنبدأ هنا ، التدرب على اتباع القواعد الأساسية عند إجراء العمليات الحسابية المختلفة بغرض تبسيط العبارة أو المعادلة الرياضية . من الواضح أن المعادلات والمقادير الرياضية تتضمن عموماً إلى جانب الأعداد والمتغيرات (الحروف) الرموز الرياضية من مثل إشارات : الضرب × ، القسمة ÷ ، الجمع + ، الطرح - ، المساواة = [(5 س + 3 ÷ 4 ص × 2 – 7 +)] (س = 1، ) وعند قيامنا بصياغة المعادلات والمقادير الرياضية المختلفة، نلجأ كثيراً، كما يقوم الرياضيون، باستخدام الأقواس ( ) لحصر بعض المعطيات العددية أو الجبرية داخلها بغرض التوضيح أو كجزء من عملية التبسيط الأولي للمعادلات والمقادير الطويلة والمعقدة . [(5 + 7) × (6 – 5)] ، 5 س + 4 – (7 – 2) وقد تصادفنا معادلات أو مقادير رياضية تتضمن متغيرات (حروف) أو أعدادٍ مرفوعة لأسٍُ أو قوة عددية ما أو أنها على صورة جذر. ، 35 ، س2 ، ، وهكذا يتضح لنا أهمية معرفة تسلسل واتباع القواعد الأساسية التالية، والموضوعة من قبل الرياضيين والمتعارف عليها عالمياً، عندما نبدأ بتبسيط أي مقدار رياضي أو عند قيامنا بمحاولة إيجاد حل لمعادلة ما. إبدأ بمعالجة كل مقدار رياضي أو كل طرف من أطراف المعادلة من اليمين إلى اليسار . نفذ العمليات الحسابية الواردة ضمن أقواس أولاً . نفذ عمليات فك (تبسيط) الجذور والأسس . بعد ذلك نفذ عمليات الضرب (من اليمين إلى اليسار) . ثم نفذ عمليات القسمة (من اليمين إلى اليسار) . وبعد ذلك نفذ عمليات الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار) . الأقواس ، القوى ، الضرب ، القسمة ، الجمع ، الطرح . تبسيط المعادلات والتراتب في العمليات الحسابية خاصية التبديل الخاصية التبديلية (تبادل الحدود) الجمع: 3 + 2 = 2 + 3 وبالمثل س + ص = ص + س الضرب: 3 × 4 = 4 × 3 وبالمثل ل × ع = ع × ل تبديل الحدود لا يؤثر على الناتج. الخاصية الترتيبية الجمع: ( 2 + 3) + 4 = (2 + 4) + 3 = (3 + 4) + 2 وبالمثل (س + ص) + ع = (س + ع) + ص = (ص + ع) + س الضرب: س (ص × ع) = ع (ص × س) = ص (ع × س) إعادة ترتيب الحدود لا يؤثر على الناتج. 3 (5 × 6) = 6 (3 ×5) = 5 (3 × 6) خاصية التوزيع (الخاصية التوزيعية) الضرب يوزع على الجمع 2 (5 + 3) = 2 × 5 + 2 × 3 وبالمثل س (ص + ل) = س ص + س ل إضافة أو طرح صفر من العبارة الرياضية الجمع مع صفر لا يؤثر على الناتج. 5 + 0 = 0 وبالمثل س + 0 = س 5 – 0 = 5 وبالمثل س – 0 = س الضرب في واحد والقسمة على واحد لا يؤثر على الناتج. 5 × 1 = 5 وبالمثل س × 1 = س وبالمثل النظير العكسي (مقلوب العدد) 5 – 5 = 0 وبالمثل 5 + ( - 5) = 0 وبالمثل س + (- س) = 0 بشرط س ¹ 0 . وبالمثل لقيمة العددية والمعادلة الجبرية المعادلات (علاقات خاصة) تساعدنا صياغة العلاقات الخاصة على شكل معادلة جبرية في حل الكثير من المسائل ، عندما نعرف القيم العددية للحروف (المتغيرات) ، المستخدمة في المعادلة . لنأخذ العلاقة بين الطول و العرض مثلاً العلاقة الخاصة بإيجاد مساحة المستطيل بدلالة أطوال أضلاعه . لا بد أنك تعرف أن مساحة المستطيل = الطول × العرض وباستخدام الحروف نقول م = ط × ع حيث: م = مساحة المستطيل بالسنتميتر المربع. ط : طول المستطيل بالسنتميتر. ع : عرض المستطيل بالسنتميتر. تستطيع أن نجد مساحة المستطيل إذا علمت أن ط = 5 سم ، ع = 4 سم. م = ط × ع م = 5 سم × 4 سم م = 20 سم2 وبالمثل : أنت تعرف أن المسافة = السرعة × الزمن وبالرموز م = س × ز حيث: م : المسافة بالمتر. س: السرعة بالمتر لكل ثانية. ز : الزمن بالثانية. تستطيع أن تعرف المسافة التي تقطعها سيارة تحركت مثلاً لمدة 20 ثانية وبسرعة ثابتة مقدارها 10متر لكل ثانية. نقول م = س × ز م = 10 متر / ثانية × 20 ثانية م = 200 متر المتغير والمُعامل والحد المطلق عرفت أنّ الحدُّ الجبريُّ يتكوّن من حاصل ضربِ ثابتٍ بمتغير أو أكثر . 3س ، 7س ص ، 35 س3ص2ع ... وعرفت أن العدد المضروب بمتغير أو أكثر في الحد الجبري يسمى المعامل . ففي الحد الجبري 3س2 يكون معامل س2 هو (3) ، ومعامل س في الحد الجبري -2س هو (-2) ، ونقول أن (+5) هو معامل س في الحد الجبري +5 س. وعرفت أن المقدار الجبري يتكون من الحدود المفصولة عن بعضها بإشارة الجمع أو الطرح . وهكذا فإن (3س2 – 2 س + 5 ) هو مقدار جبري فيه : 3 س2 حد جبري ، - 2 س حد جبري ، + 5 حد مطلق . دَرست سابقاً أن العبارة الرياضية (5 + 5 + 5) يُمكن أن تُكتب اختصاراً على صورة (3 × 5) وبالمثل ، في علم الجبر فإن س + س + س = 3 × س (وتُكتب اختصاراً 3س). ودَرست سابقاً أنَّ العدد 36 لا يعني أبداً (6 × 3) وإنما يعني (3) عشرات و 6 واحدات (آحاد) . 36 = (3) عشرات + (6) آحاد ولكن في علم الجبر ، فإننا دائماً يجب أن نفهم أنَّ : 4 س تعني 4 × س ونقول أن الأربعة (4) هي معامل المتغير (س) أي أنها تخبرنا عن عدد مرات تكرار المتغير (س) 4 س = 4 × س = س + س + س + س وبالمثل : س ص تعني دائماً س × ص ونقول (س) هي معامل للمتغير ص ، والعكس أيضاً (ص) هي معامل للمتغير س . لنأخذ المقدار الجبري (3س × 4) ونَرى كيف يُمكننا فهمه . 3 س × 4 تعني 4 × 3 س 3 س + 3 س + 3 س + 3 س = 12 س وكذلك 3 س × 4 = 3 × س × 4 = 3 × 4 × س = 12 × س = 12 س وكذلك 3 س × 4 = 3 × س × 4 = 4 × س × 3 = 4 س × 3 3 س × 4 = 12 س = 4 س × 3 وبالمثل فإن المقدار (3 س × 4 ص) يعني 3 س × 4 ص = 12 س ص = 4 س × 3 ص المتغير ووحدة القياس الكمي تَرمُز الحروف التي نستخدمها في المقادير الجبرية إلى أعدادٍ وليس إلى وحدات قياس لعددٍ من الأشياء . فكما نقول (7) كيلو غرام ، (100) سم2 ، (15) متر ، (5) دراهم. بالمثل نقول : (س) من الدنانير ، (ص) كيلوغرامات ، (ل) متر مربع ... وهكذا . ونحنُ نستخدم الأحرف في الجبر، ليدل الواحد منها على مقدار عددي من نوعٍ واحد فقط . فمثلاً قد تكون (س) ترمز إلى 7 كيلوغرامات أو قد تكون (ص) ترمز إلى 12 مسطرة ... وهكذا . ولكنها ، أي (س) ، لا يمكن أن ترمز إلى نوعين مختلفين . فمثلاً (س) لا يمكن أن ترمز إلى 7 كيلوغرامات و12 مسطرة في آن واحد. الحرف في الجبر (المتغير) يدل على نوع كمي واحد. لنأخذ العبارة 6 + س = 20 كغم . إنها تعني أن العدد 6 يدل على 6 كغم . وأن (س) وحدتها الكيلوغرام وهي تدل على مقدار عددي. 6 + س = 20 كغم تعني لنا 6 كغم + (س) كغم = 20 كغم إذن س = 14 كغم لنأخذ المقدار الجبري (ص + 4) ولنفرض أن ص = 3 . دَعنا الآن ندرس القيمة العددية للمقدار الجبري (ص + 4) على فرض أن ص = 3 . إذا كان المقدار (ص + 4) يُمثل وحدات قياس مساحةٍ ما ، فإن القيمة العددية لهذا المقدار الجبري هي: (ص + 4) سم2 = (3) سم2 + 4 سم2 = 3 سم2 + 4 سم2 = 7 سم2 وإذا كان المقدار (ص + 4) يمثل وحدات قياس مسافة طولية ما فإن القيمة العددية لهذا المقدار هي: (ص + 4) من الأمتار = (ص) متر + 4 متر = 3 م + 4 م = 7 م وإذا كان المقدار (ص + 4) يُمثل مبلغاً من النقود (دنانير مثلاً) ، فإن القيمة العددية لهذا المقدار هي: (ص + 4) دينار = (ص) دينار + 4 دينار = 3 دينار + 4 دينار = 7 دنانير